Question

如圖，正方形ABCD中，點E在BC上，且CE=

1

4

BC，點F是CD的中點，延長AF與BC的延長線交于點M．以下結(jié)論：
①AB=CM；②AE=AB+CE；③S_△AEF=

1

3

S_{四邊形ABCF}；④∠AFE=90°．
其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì)

專題：

分析：由“點F是CD的中點，延長AF與BC的延長線交于點M”知AD=CM，即AB=CM，由邊長關(guān)系可知AE=EM，F(xiàn)為中點知，EF⊥AM，再根據(jù)面積S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF得面積關(guān)系．

解答：解：由題意知，
∵點F是CD的中點，
∴DF=CF，
在△ADF和△MCF中，

∠D=∠FCM DF=CF ∠DFA=∠CFM

，
∴△ADF≌△MCF（ASA），
∴CM=AD=AB，
①正確；
設(shè)正方形ABCD邊長為4，
∵CE=

1

4

BC=1，
∴BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AB+CE，
②正確；
EM=CM+CE=5=AE，
又∵F為AM的中點，
∴EF⊥AM，
④正確，
由CF=2，CE=1得EF=

5

，
由DF=2，AD=4得AF=2

5

，
∴S_△AEF=5，
又∵S_△ADF=4，
∴S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF=12，
∴S_△AEF=

5

12

S_{四邊形ABCF}≠

1

3

S_{四邊形ABCF}；
③不正確，
∴正確的有3個，
故選C．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．注意對角線相互垂直平分相等的綜合性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，要熟練掌握．