Question

2．如圖，在MN的同側(cè)作△AMN和△BMN，BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，AN交BM于點C．設(shè)∠A=α°，∠B=β°，下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． 若α=β，則點C在MN的垂直平分線上
• B． 若α+β=180°，則∠AMB=∠NMB
• C． ∠MCN=$（\frac{α+β}{3}+60）$°
• D． 當(dāng)∠MCN=120°時，延長MA、NB交于點O，則OA=OB

Answer 1

分析 A．若α=β，易得∠AMC=∠BNC，由角平分線的性質(zhì)易得∠CMN=∠CNM，由等腰三角形的性質(zhì)，可得CM=CN，利用垂直平分線的判定定理可得結(jié)論；
B、BM平分∠AMN，即∠AMB=∠NMB，與α、β無關(guān)；
C、由三角形內(nèi)角和等于180°易得∠A+∠AMN+∠ANM=180°和∠B+∠BMN+∠BNM=180°，由角平分線定義可知∠AMN=2∠BMN和∠BNM=2∠ANM，套入前面兩等式相加可得出∠BMN+∠ANM=120°-$\frac{α+β}{3}$，在△CMN中由三角形內(nèi)角和為180°即可得出結(jié)論；
D、當(dāng)∠MCN=120°時，延長MA、NB交于點O，只能得出∠MON=60°，從而得出D答案不成立．

解答 答：A、∵α=β，∠MCA=∠NCB，
∴△MCA∽△NCB，
∴∠AMC=∠BNC，
∵BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，
∴∠MNC=∠CNM，
∴點C在MN的垂直平分線上．
即A成立；
B、∵BM平分∠AMN，
∴∠AMB=∠NMB．
即B成立；
C、∵∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∠B+∠BMN+∠BNM=180°，且BM平分∠AMN，AN平分∠BNM，
∴∠A+2∠BMN+∠ANM=180°，∠B+∠BMN+2∠ANM=180°，
，兩式相加得：∠A+2∠BMN+∠ANM+∠B+∠BMN+2∠ANM=360°，
即α°+β°+3（∠BMN+∠ANM）=360°，
∴∠BMN+∠ANM=120°-$\frac{α+β}{3}$°．
由三角形的內(nèi)角和為180°可知：∠BMN+∠ANM+∠MCN=180°，
∴∠MCN=（60+$\frac{α+β}{3}$）°．
即C成立；
由排除法可知D選項不成立．
故選D．

點評 本題考查了角平分線的定義、相似三角形的判定及性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180°，解題的關(guān)鍵是逐項分析選項得知A、B、C均成立．本題屬于中檔題，在各選項的判斷中用到的知識點較多，唯一的好處在于本題是選擇題，不需要去證明和驗證各項結(jié)論．