Question

已知：右圖是二次函數(shù)y=（x-m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達(dá)式求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動(dòng)的范圍，求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵M(jìn)（1，-4）是二次函數(shù)y=（x-m）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0）；
（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使S_△PAB=

5

4

S_△MAB，
設(shè)P（x，y），則S_△PAB=

1

2

|AB|•|y|=2|y|，
又∵S_△MAB=

1

2

|AB|•|-4|=8，
∴2|y|=

5

4

×8，即y=±5．
∵二次函數(shù)的最小值為-4，
∴y=5．
當(dāng)y=5時(shí)，x=-2或x=4．
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；
（3）如圖，

∵直線y=x+b經(jīng)過A（-1，0），
∴-1+b=0，解得b=1，
∵b＜1，
∴y=x+b在y=x+1的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，3+b=0，則b=-3，
∴由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時(shí)，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由函數(shù)圖象確定坐標(biāo)，以及給出面積關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線與圖象的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想．