Question

14．如圖所示，在⊙O中，C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．
下列結(jié)論：①M(fèi)C=ND，②$\widehat{AM}$=$\widehat{MN}$=$\widehat{NB}$，③四邊形MCDN是正方形，④MN=$\frac{1}{2}$AB，其中正確的結(jié)論是①②④（填序號）．

Answer 1

分析 連結(jié)OM、ON，如圖，易得OC=$\frac{1}{2}$OM=OD=$\frac{1}{2}$ON，利用含30度的直角三角形三邊關(guān)系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以MC=$\sqrt{3}$OC，ND=$\sqrt{3}$OD，則可對①進(jìn)行判斷；再計(jì)算出∠MOC=∠NOD=60°，則∠MON=60°，于是根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對②進(jìn)行判斷；先證明四邊形MCDN為平行四邊形，加上∠MCO=90°，則可判斷四邊形MCDN為矩形，由于MC=$\sqrt{3}$OC，
則MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，于是可對③進(jìn)行判斷；由四邊形MCDN為矩形得到MN=CD，則MN=$\frac{1}{2}$AB，則可對④進(jìn)行判斷．

解答 解：連結(jié)OM、ON，如圖，
∵C、D分別是OA、OB的中點(diǎn)，
∴OC=OD，OC=$\frac{1}{2}$OM，OD=$\frac{1}{2}$ON，
∵M(jìn)C⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OMC=30°，∠OND=30°，
∴MC=$\sqrt{3}$OC，ND=$\sqrt{3}$OD，
∴MC=ND，所以①正確；
∵∠MOC=∠NOD=60°，
∴∠MON=60°，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{MN}$=$\widehat{NB}$，所以②正確；
∵CM∥ND，MC=ND，
∴四邊形MCDN為平行四邊形，
而∠MCO=90°，
∴四邊形MCDN為矩形，
∵M(jìn)C=$\sqrt{3}$OC，
∴MC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD，
∴四邊形MCDN不是正方形，所以③錯(cuò)誤；
∵四邊形MCDN為矩形，
∴MN=CD，
∴MN=$\frac{1}{2}$AB，所以④正確．
故選①②④．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系．