Question

在臺球桌矩形，ABCD上，放有兩個(gè)球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打擊球P使它撞在AB的M點(diǎn)反彈后撞到球Q，其路線記為P→M→Q；如果打擊球 Q，使它撞在AD的N點(diǎn)反彈后撞到球P，其路線記為Q→N→P．證明：P→M→Q與Q→N→P的路線長相等．

Answer 1

證明：如圖，臺球P撞AB于M反彈打到Q，滿足∠PMB=∠QMA，即對P的路線是作P關(guān)于BA的對稱點(diǎn)P₁，連接P₁Q交 BA于 M點(diǎn)，則P→M→Q為球P的路線，
再作Q關(guān)于AD的對稱點(diǎn)Q₁連接PQ₁交AD于N點(diǎn)，則Q→N→P為球Q的路線，


由對稱性，知P₁A=PA，Q₁A=QA，
∠3=∠1=∠2=∠4，
PM+MQ=P₁M+MQ=P₁Q，
QN+NP=Q₁N+NP=Q₁P．
因此，要證P→M→Q與Q→N→P的路線長相等，即證明PM+MQ=QN+NP，也就是要證P₁Q=Q₁P，
∵∠P₁AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°，
∠PAQ₁=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，
∴∠P₁AQ=∠PAQ₁，
在△P₁AQ和△PAQ₁中，

P1A=PA ∠P1AQ=∠PAQ1 Q1A=QA

，
∴△P₁AQ≌△PAQ₁（SAS），
∴P₁Q=Q₁P，
所以P→M→Q與Q→N→P的路線長相等．