Question

在臺(tái)球桌矩形，ABCD上，放有兩個(gè)球P和Q，恰有∠PAB和∠QAD相等．如果打擊球P使它撞在AB的M點(diǎn)反彈后撞到球Q，其路線(xiàn)記為P→M→Q；如果打擊球 Q，使它撞在AD的N點(diǎn)反彈后撞到球P，其路線(xiàn)記為Q→N→P．證明：P→M→Q與Q→N→P的路線(xiàn)長(zhǎng)相等．

Answer 1

證明：如圖，臺(tái)球P撞AB于M反彈打到Q，滿(mǎn)足∠PMB=∠QMA，即對(duì)P的路線(xiàn)是作P關(guān)于BA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁，連接P₁Q交 BA于 M點(diǎn)，則P→M→Q為球P的路線(xiàn)，
再作Q關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q₁連接PQ₁交AD于N點(diǎn)，則Q→N→P為球Q的路線(xiàn)，
由對(duì)稱(chēng)性，知P₁A=PA，Q₁A=QA，
∠3=∠1=∠2=∠4，
PM+MQ=P₁M+MQ=P₁Q，
QN+NP=Q₁N+NP=Q₁P．
因此，要證P→M→Q與Q→N→P的路線(xiàn)長(zhǎng)相等，即證明PM+MQ=QN+NP，也就是要證P₁Q=Q₁P，
∵∠P₁AQ=∠3+∠BAQ=∠2+∠BAQ=90°，
∠PAQ₁=∠PAD+∠4=∠PAD+∠1=90°，
∴∠P₁AQ=∠PAQ₁，
在△P₁AQ和△PAQ₁中，，
∴△P₁AQ≌△PAQ₁（SAS），
∴P₁Q=Q₁P，
所以P→M→Q與Q→N→P的路線(xiàn)長(zhǎng)相等．
分析：作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁，連接P₁Q交AB于點(diǎn)M，連接PM，作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q₁，連接PQ₁交AD于點(diǎn)N，連接QN，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性可知，要證P→M→Q與Q→N→P的路線(xiàn)長(zhǎng)相等，即證明PM+MQ=QN+NP，也就是要證P₁Q=Q₁P，由對(duì)稱(chēng)性可得P₁A=PA，Q₁A=QA，再證明∠P₁AQ=∠PAQ₁，然后利用“邊角邊”證明△P₁AQ和△PAQ₁全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作點(diǎn)P、Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，找出表示兩條路線(xiàn)的長(zhǎng)度的線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵．