Question

1．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，∠B=60°，CE⊥AB于E，動(dòng)點(diǎn)P從出發(fā)點(diǎn)以1cm/s的速度沿BC邊向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以4cm/s的速度沿CD邊向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)D時(shí)立即以原來的速度沿射線DA運(yùn)動(dòng)，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t=1s時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若△PCQ的面積等于△BEC的面積，求t的值；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在DA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ與AB相交于點(diǎn)F，若AF：BF=3：2，求t的值，并判斷此時(shí)PQ與CE的位置關(guān)系；
（4）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在將菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的情形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，簡(jiǎn)要說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)時(shí)間=$\frac{路程}{速度}$即可求解；
（2）首先求得△BCE的面積，然后利用t表示出PC和CQ的長(zhǎng)，則△PCQ的面積即可用t表示，則列方程即可求解；
（3）易證△AQF∽△BPF，根絕相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可列方程求解；
（4）PQ同時(shí)把菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，則一定有DQ=BP，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）t=$\frac{4}{4}$=1（s），故答案是：1s；
（2）在直角△BCE中，EC=BC•sin∠B=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（cm），BE=$\frac{1}{2}$BC=2（cm），
則S_△BEC=$\frac{1}{2}$BE•EC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$（cm2），
運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts，則BP=t，PC=4-t，CQ=4t，
則S_△PCQ=$\frac{1}{2}$PC•CQ•sin60°=$\frac{1}{2}$（4-t）•4t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-t²+4t，
則-t2+4t=2$\sqrt{3}$，
解得：t=1或$\frac{3}{2}$（舍去）．
故t=1．
（3）∵AD∥BC，
∴△AQF∽△BPF，
∴$\frac{AQ}{BP}$=$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{4t-8}{t}$=$\frac{3}{2}$，
解得：t=$\frac{16}{5}$．
則BP=$\frac{16}{5}$，
又∵BF=$\frac{2}{5}$AB=$\frac{8}{5}$，BE=2，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BF}{BE}$，
∴PQ∥CE；
（4）PQ同時(shí)把菱形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，則PQ一定經(jīng)過菱形的中心，
則Q在AD上，且DQ=BP，則t-4=t，
此時(shí)無解，則t不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，正確利用相似三角形的性質(zhì)求得BP的長(zhǎng)是關(guān)鍵．