Question

已知：函數(shù)y=ax²-（3a+1）x+2a+1（a為常數(shù)）．
（1）若該函數(shù)圖象與坐標軸只有兩個交點，求a的值；
（2）若該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線，與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，與y軸相交于點C，且x₂-x₁=2．
①求拋物線的解析式；
②作點A關于y軸的對稱點D，連結(jié)BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,等腰直角三角形

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)a取值的不同，有三種情形，需要分類討論，避免漏解．
（2）①函數(shù)與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，則x₁，x₂，滿足y=0時，方程的根與系數(shù)關系．因為x₂-x₁=2，則可平方，用x₁+x₂，x₁x₂表示，則得關于a的方程，可求，并得拋物線解析式．
②已知解析式則可得A，B，C，D坐標，求sin∠DCB，須作垂線構(gòu)造直角三角形，結(jié)論易得．

解答：解：（1）函數(shù)y=ax²-（3a+1）x+2a+1（a為常數(shù)），
若a=0，則y=-x+1，與坐標軸有兩個交點（0，1），（1，0）；
若a≠0且圖象過原點時，2a+1=0，a=-

1

2

，有兩個交點（0，0），（1，0）；
若a≠0且圖象與x軸只有一個交點時，令y=0有：
△=（3a+1）²-4a（2a+1）=0，解得a=-1，有兩個交點（0，-1），（1，0）．
綜上得：a=0或-

1

2

或-1時，函數(shù)圖象與坐標軸有兩個交點．

（2）①∵函數(shù)與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，
∴x₁，x₂為ax²-（3a+1）x+2a+1=0的兩個根，
∴x₁+x₂=

3a+1

a

，x₁x₂=

2a+1

a

，
∵x₂-x₁=2，
∴4=（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（

3a+1

a

）²-4•

2a+1

a

，
解得a=-

1

3

（函數(shù)開口向上，a＞0，舍去），或a=1，
∴y=x²-4x+3．
②∵函數(shù)y=x²-4x+3與x軸相交于點A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，與y軸相交于點C，且x₁＜x₂，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D為A關于y軸的對稱點，
∴D（-1，0）．
根據(jù)題意畫圖，

如圖1，過點D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB為等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB為等腰直角三角形，
設DE=x，則EB=x，
∵DB=4，
∴x²+x²=4²，
∴x=2

2

，即DE=2

2

．
在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
∴CD=

DO2+CO2

=

10

，
∴sin∠DCB=

DE

CD

=

2 5

5

．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象交點性質(zhì)、韋達定理、特殊三角形及三角函數(shù)等知識，題目考法新穎，但內(nèi)容常規(guī)基礎，是一道非常值得考生練習的題目．