Question

15．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，在△ABC的外部，以AB為直角邊作等腰直角△ABD，連接CD，則△BCD的周長為4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4或8$\sqrt{2}$+8．

Answer 1

分析 分情況討論，①以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAC；②以B為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ADB．分別畫圖，即可得到結(jié)論．

解答 解：①如圖1，以A為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形DAB，
∵∠DAB=90°，且AD=AB=4，
∴BD=BC=4$\sqrt{2}$，
∴△BCD的周長=8$\sqrt{2}$+8；
②如圖2，以B為直角頂點(diǎn)，向外作等腰直角三角形ABD，
，連接CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC的延長線于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DAE=45°，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠ADE=45°，
∴AE=DE=4，
∴CE=8，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴△BCD的周長為4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4；
故答案為：4$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$+4或8$\sqrt{2}$+8．

點(diǎn)評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題時注意分類討論，不要漏掉所有可能的情況．