Question

如圖，已知點P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)的一點，且PB=3，BF⊥BP，請在射線BF找一點M，使點B，M，C為頂點的三角形與△ABP相似，求PM的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：

分析：根據(jù)△ABP和△BMC相似可求得BM的長，再在Rt△PBM中利用勾股定理求PM即可．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，PB⊥BF，
∴∠ABC=∠PBF=90°，
∴∠ABP+∠PBC=∠PBC+∠CBF，
∴∠ABP=∠CBF，
當△ABP∽△CBM時，則有

AB

BC

=

BP

BM

，即

4

4

=

3

BM

，解得BM=3，在Rt△PBM中，由勾股定理可求得PM=5；
當△ABP∽△MBC時，則有

AB

BM

=

BP

BC

，即

4

BM

=

3

4

，解得BM=

16

3

，在Rt△PBM中，由勾股定理可求得PM=

337

3

；
綜上可知PM為5或

337

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意分類思想的應(yīng)用．