Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，∠CBA=30°，BC=20

3

．
（1）求AB的長．
（2）一個圓心在A點，半徑為6的圓以2個單位長度每秒的速度向右運動，在運動過程中，圓心始終都在直線AB上，問運動多少秒時，圓與△ABC的一邊所在的直線相切？

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：（1）根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系易求得AB=40；
（2）如圖，當(dāng)圓心運動點D時與直線AC相切于點P，圓心運動點E時與直線BC相切于點M，圓心運動點F時與直線BC相切于點N，連結(jié)DP，EM，F(xiàn)N，根據(jù)切線的性質(zhì)得DP⊥AC，EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，DP=EM=FN=6，在Rt△ADP中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可求出PA=

3

3

PD=2

3

，則AD=2PA=4

3

，然后計算圓運動的時間；在Rt△EBM中易得EB=2EM=12，則AE=AB-EB=28，于是可計算圓運動的時間；在Rt△EBM中，由于∠FBN=∠ABC=30°，則易得BF=2FN=12，所以AF=AB+FB=52，然后計算圓運動的時間．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠CBA=30°，
∴AC=

3

3

BC=20，
∴AB=2BC=40；
（2）如圖，當(dāng)圓心運動點D時與直線AC相切于點P，圓心運動點E時與直線BC相切于點M，圓心運動點F時與直線BC相切于點N，
連結(jié)DP，EM，F(xiàn)N，則DP⊥AC，EM⊥BC，F(xiàn)N⊥BC，DP=EM=FN=6，
在Rt△ADP中，∵∠PAD=60°，
∴∠ADP=30°，
∴PA=

3

3

PD=

3

3

•6=2

3

，
∴AD=2PA=4

3

，
∴圓運動的時間=

4 3

2

=2

3

（秒）；
在Rt△EBM中，∵∠EBM=30°，
∴EB=2EM=12，
∴AE=AB-EB=28，
∴圓運動的時間=

28

2

=14（秒）；
在Rt△EBM中，∵∠FBN=∠ABC=30°，
∴BF=2FN=12，
∴AF=AB+FB=52，
∴圓運動的時間=

52

2

=26（秒），
綜上所述，運動2

3

秒或14秒或26秒時，圓與△ABC的一邊所在的直線相切．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．