Question

如圖，菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)，M，N分別為四邊的中點，試說明：E，F(xiàn)，M，N四點在同一個圓上．

Answer 1

考點：四點共圓

專題：證明題

分析：要證E，F(xiàn)，M，N四點在同一個圓上，只需證明OE=OF=ON=OM，只需運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可解決問題．

解答：證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°．
∵點E、F、N、M分別為四邊的中點，
∴OE=

1

2

AB，OF=

1

2

BC，ON=

1

2

CD，OM=

1

2

AD，
∴OE=OF=ON=OM，
∴E、F、M、N四點在以點O為圓心，OE為半徑的圓上，
∴E、F、M、N四點在同一個圓上．

點評：本題主要考查了菱形的性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、四點共圓的判定等知識，解決本題的關鍵是找到一個點，使得該點到E、F、M、N四點的距離都相等．