Question

9．已知，點(diǎn)A（-3，$\frac{5}{4}$），點(diǎn)B（4，3）和拋物線y=$\frac{1}{4}$x²，將拋物線y=$\frac{1}{4}$x²沿著y軸方向平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，$\frac{5}{4}$）畫出平移后的拋物線如圖所示
（1）平移后的拋物線是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，3）？說(shuō)明你的理由
（2）在平移后的拋物線上且位于直線AB下方的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=7？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
（3）在平移后的拋物線上有點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作直線y=-2的垂線，垂足為N，連OM、ON．當(dāng)∠OMN=60°時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)假設(shè)出解析式，進(jìn)而將A點(diǎn)代入求出m的值進(jìn)而得出答案；
（2）首先求出直線AB的解析式，進(jìn)而表示出△PAB的面積，進(jìn)而求出t的值，即可得出答案；
（3）首先表示出ON，NM的長(zhǎng)，進(jìn)而得出△OMN為等邊三角形，再利用M點(diǎn)坐標(biāo)得出t的值，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-m，
將A（-3，$\frac{5}{4}$）代入y=$\frac{1}{4}$x²-m，得m=1
則y=$\frac{1}{4}$x²-1，
當(dāng)x=4時(shí)，y=3，
故平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4，3）；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把點(diǎn)A（-3，$\frac{5}{4}$），點(diǎn)B（4，3）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=\frac{5}{4}}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x+2，
設(shè)P（t，$\frac{1}{4}$t²-1）
如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交AB于Q，
∴Q（t，$\frac{1}{4}$t+2）
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{4}$t+2-（$\frac{1}{4}$t²-1）]×（4+3）=7，
解得：t=$\frac{1±\sqrt{17}}{2}$，
故$\frac{1}{4}$（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）²-1=$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{4}$（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）²-1=$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，
則P（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$）；

（3）如圖2，設(shè)M（a，$\frac{1}{4}$a²-1）
則OM²=a²+（$\frac{1}{4}$a²-1）²=（$\frac{1}{4}$a²-1）²，MN²=（$\frac{1}{4}$a²-1+2）²=（$\frac{1}{4}$a²+1）²
∴OM=MN
∵∠OMN=60°
∴△OMN為等邊三角形，
則∠MOF=30°，當(dāng)OF=a，則MF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
可得M（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），
故$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{1}{4}$a²-1，
解得：a₁=2$\sqrt{3}$，a₂=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
則$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=2或-$\frac{2}{3}$
∴M（2$\sqrt{3}$，2）或（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及等邊三角形的判定以及待定系數(shù)法解析式等知識(shí)，正確表示出M點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．