Question

5．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE=BF，連接AE，EF和CF．求證：
（1）AE=CF．
（2）AE⊥CF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS證明△ABE≌△CBF即可得出AE=CF；
（2）先延長AE交CF于D，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得：∠CDE=∠ABC=90°，則AE⊥CF．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠EBF=90°，
在△ABE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠EBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；
（2）如圖2，延長AE交CF于D，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠CDE=∠ABC=90°，
∴AD⊥CF，
即AE⊥CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，做好本題要熟練掌握全等的判定方法：SSS、ASA、AAS、SAS；在幾何證明中，常利用兩個(gè)三角形中有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得第三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等．