Question

15．如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A₁BC₁的位置，AB與A₁C₁相交于點D，AC與A₁C₁、BC₁分別交于點E、F．
（1）求證：△BCF≌△BA₁D．
（2）當(dāng)∠C=α度時，判定四邊形A₁BCE的形狀并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠A=∠C，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA₁D；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠A₁=∠A，根據(jù)平角的定義得到∠DEC=180°-α，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠ABC=360°-∠A₁-∠C-∠A₁EC=180°-α，證得四邊形A₁BCE是平行四邊形，由于A₁B=BC，即可得到四邊形A₁BCE是菱形．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A₁BC₁的位置，
∴A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，
在△BCF與△BA₁D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}=∠C}\\{{A}_{1}B=BC}\\{∠{A}_{1}BD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BA₁D；

（2）解：四邊形A₁BCE是菱形，
∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A₁BC₁的位置，
∴∠A₁=∠A，
∵∠ADE=∠A₁DB，
∴∠AED=∠A₁BD=α，
∴∠DEC=180°-α，
∵∠C=α，
∴∠A₁=α，
∴∠A₁BC=360°-∠A₁-∠C-∠A₁EC=180°-α，
∴∠A₁=∠C，∠A₁BC=∠A₁EC，
∴四邊形A₁BCE是平行四邊形，
∴A₁B=BC，
∴四邊形A₁BCE是菱形．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．