Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)C為（-4，0），腰長(zhǎng)為2，將三角形繞著頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（點(diǎn)A在x軸的上方）分別過點(diǎn)A、點(diǎn)B向x軸作垂線，垂足分別為O₁，O₂．

（1）如圖①和圖②證明在點(diǎn)B不在坐標(biāo)軸上的情況下，△ACO₁與△BCO₂全等嗎？選擇其中一幅圖說明你的理由；
（2）如圖③所示，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，點(diǎn)O₁與C重合，以C為圓心CA為半徑作圓，得到如圖所示的⊙C，在⊙C上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P（點(diǎn)P不在x軸上），過點(diǎn)P作⊙C的切線與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，直線BP交y軸于點(diǎn)M．
①如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸時(shí)，寫出線段PQ與線段QM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上除外）①中的兩條線段之間的關(guān)系變嗎？若變說明理由，若不變，則它們有最小值嗎？最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）圖①先利用同角的余角相等得出∠ACO₁=∠CBO₂，即可得出結(jié)論；圖②同圖①的方法可證；
（2）①先利用切線的性質(zhì)和同角或等角的余角相等得出結(jié)論；
②先判斷出PQ最小時(shí)，點(diǎn)Q在原點(diǎn)O處，再用勾股定理求出PQ的最小值．

解答 解：（1）△ACO₁與△BCO₂全等
如圖①，∵∠ACB=90°，
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°，
∵AO₁⊥OC，BO₂⊥OC，
∴∠AO₁C=∠BO₂C=90°，
∴∠BCO₂+∠CBO₂=90°，
∴∠ACO₁=∠CBO₂，
在△ACO₁和△CBO₂中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A{O}_{1}C=∠C{O}_{2}B}\\{∠AC{O}_{1}=∠CB{O}_{2}}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACO₁≌△CBO₂，
如圖2，同①的方法可證；
（2）①∵PQ是⊙C的切線，
∴∠QPC=90°，
∴∠QPM+∠CPB=90°，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP
∴∠QPM+∠CBP=90°，
∵∠CBP=∠OBM，
∴∠QPM+∠OBM=90°，
∵∠OBM+∠OMB=90°，
∴∠QPM=∠OMB，
∴QP=QM，
②不變，
理由：同（1）
連接CQ，
在Rt△CPQ中，PQ²=CQ²-CP²
∵CP是⊙C的半徑，
∴CP為定值是2，
∴CQ最小時(shí)，PQ最小，
∵點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)C在x軸，
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)O處時(shí)，CQ最小，最小值為CO=4，
∴PQ_最小=$\sqrt{C{O}^{2}-C{P}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，同角或等角的余角相等，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是判斷出PQ最小時(shí)，點(diǎn)Q的位置．