Question

14．如圖，直線AB的解析式為y=2x+5，與y軸交于點A，與x軸交于點B，點P為線段AB上的一個動點，作PE⊥y軸于點E，PF⊥x軸于點F，連接EF，則線段EF的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在一次函數(shù)y=2x+5中，分別令x=0和y=0，解相應(yīng)方程，可求得A、B兩點的坐標，由矩形的性質(zhì)可知EF=OP，可知當OP最小時，則EF有最小值，由垂線段最短可知當OP⊥AB時，滿足條件，由條件可證明△AOB∽△OPB，利用相似三角形的性質(zhì)可求得OP的長，即可求得EF的最小值．

解答 解：∵一次函數(shù)y=2x+5中，令x=0，則y=5，令y=0，則x=-$\frac{5}{2}$，
∴A（0，5），B（-$\frac{5}{2}$，0）．
∵PE⊥y軸于點E，PF⊥x軸于點F，
∴四邊形PEOF是矩形，且EF=OP，
∵O為定點，P在線段上AB運動，
∴當OP⊥AB時，OP取得最小值，此時EF最小，
∵A（0，5），點B坐標為（-$\frac{5}{2}$，0），
∴OA=5，O B=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{OA}^{2}+{OB}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{（-\frac{5}{2}）}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴AB•OP=OA•OB，
∴OP=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{5×\frac{5}{2}}{\frac{5\sqrt{5}}{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知坐標軸上點的坐標特點是解答此題的關(guān)鍵．