Question

如圖，點A是x軸正半軸上的動點，點B的坐標為（0，4），將線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C，過點C作x軸的垂線，垂足為F，過點B作y軸的垂線與直線CF相交于點E，點D是點A關于直線CF的對稱點，連接AC、BC、CD，設點A的橫坐標為t．
（1）線段AB與AC的位置關系是

 

；數(shù)量關系是

 

．
（2）當t=2時，求CF的長；
（3）當t為何值時，點C落在線段BD上？求出此時點C的坐標；
（4）設△BCE的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)“線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C”推知AB與AC的關系；
（2）由Rt△ACF∽Rt△BAO，得CF=

1

2

OA=

1

2

t，由此求出CF的值；
（3）由Rt△ACF∽Rt△BAO，可以求得AF的長度；若點C落在線段BD上，則有△DCF∽△DBO，根據(jù)相似比例式列方程求出t的值；
（4）有三種情況，需要分類討論：當0＜t≤8時，如題圖1所示；當t＞8時，如答圖1所示；t=8時，如答圖2所示；．

解答：解：（1）∵如圖，將線段AB的中點繞點A按順時針方向旋轉90°得點C，
∴AB=2AC，∠BAC=90°，
∴AB⊥AC．
故答案是：AB=2AC，AB⊥AC；

（2）∵∠BAO+∠CAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAF，
∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

CF

OA

=

AC

AB

．
∵AB=2AC，
∴CF=

1

2

OA=

1

2

t．
當t=2時，CF=1；

（3）由（1）知，Rt△ACF∽Rt△BAO，
∴

AF

OB

=

AC

AB

，
∴AF=

1

2

OB=2，
∴FD=AF=2，．
∵點C落在線段BD上，
∴△DCF∽△DBO，
∴

CF

OB

=

DF

OD

，即

1 2 t

4

=

2

t+4

，
整理 得t²+4t-16=0
解得 t=2

5

-2或t=-2

5

-2（不合題意，舍去）
∴當t=2

5

-2時，點C落在線段BD上．
此時，CF=

1

2

t=

5

-1，
OF=t+2=2

5

，
∴點C的坐標為（2

5

，-1+

5

）；

（4）①當0＜t≤8時，如題圖1所示：
S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+

3

2

t+4；
②當t＞8時，如答圖1所示：CE=CF-EF=

1

2

t-4

S=

1

2

BE•CE=

1

2

（t+2）•（

1

2

t-4）=

1

4

t²-

3

2

t-4；
③如答圖2，當點C與點E重合時，CF=OB=4，可得t=OA=8，此時S=0．

點評：本題考查了坐標平面內幾何圖形的多種性質，是一道難度較大的中考壓軸題．涉及到的知識點包括相似三角形、全等三角形、點的坐標、幾何變換（旋轉、平移、對稱）等，非常全面；分類討論的思想貫穿第（4）問．本題涉及考點眾多，內涵豐富，對考生的數(shù)學綜合能力要求較高．