Question

6．在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，連接EC，點(diǎn)D在直線BC上，連接ED，使ED=EC，如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，易證：AC=BD+BE．
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC，BD，BE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需要證明；
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC，BD，BE又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想給予證明．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：BD-BE=AC．如圖2中，作EM∥AC交CD于M．首先證明△BME是等邊三角形，再證明△EDM≌△ECB，推出DM=BC，由此即可解決問題．
（2）如圖3中，結(jié)論：BE-BD=AC．首先證明△BME是等邊三角形，再證明△EDM≌△ECB，推出DM=BC，即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：BD-BE=AC．
證明：如圖2中，作EM∥AC交CD于M．

∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∴∠BEM=∠A=60°，∠BME=∠ACB=60°，
∴△BME是等邊三角形，
∴∠DME=∠CBE=120°，BM=EB，
∵ED=EC，
∴∠EDM=∠ECB，
在△EDM和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠EBC}\\{∠EDM=∠ECB}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△ECB，
∴DM=BC，
∴BD-BM=DM，
∴BD-BE=AC．

（2）如圖3中，結(jié)論：BE-BD=AC．

理由：作EM∥AC交BD的延長(zhǎng)線于M．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∴∠BEM=∠A=60°，∠BME=∠ACB=60°，
∴△BME是等邊三角形，
∴∠DME=∠CBE=60°，BM=EB，
∵ED=EC，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠EDM=∠ECB，
在△EDM和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMD=∠EBC}\\{∠EDM=∠ECB}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△ECB，
∴DM=BC，
∴BE-BD=BM-BD=DM=BC=AC，
∴BE-BD=AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．