Question

20．如圖，點(diǎn)A（-2，5）在以（1，-4）為頂點(diǎn)的拋物線上，拋物線與x正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M（x，y）（其中-2＜x＜3）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABM面積的最大值為$\frac{125}{8}$．

Answer 1

分析 先利用頂點(diǎn)式求出拋物線解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，再解方程x²-2x-3=0得到B（3，0），接著利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-x+3，作MN∥y軸交AB于點(diǎn)N，如圖，設(shè)M（t，t²-2t-3）（-2＜x＜3），則N（t，-t+3），利用S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN可得到S_△ABM═-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答 解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-4，
把A（-2，5）代入得a（-2-1）²-4=5，解得a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則B（3，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-2，5），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-x+3，
作MN∥y軸交AB于點(diǎn)N，如圖，設(shè)M（t，t²-2t-3）（-2＜x＜3），則N（t，-t+3），
∴MN=-t+3-（t²-2t-3）=-t²+t+6
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN
=$\frac{1}{2}$•5•MN
=-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+6
=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{125}{8}$
∴當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，△ABM面積有最大值，最大值為$\frac{125}{8}$．
故答案為$\frac{125}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和三角形面積公式．