Question

12．定義：對于任意的三角形，設(shè)其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°，若滿足x²+y²=z²，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（2）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB=$\sqrt{6}$，AC=$1+\sqrt{3}$，BC=2，BE是⊙O的直徑，交AC于D．
①求證：△ABC是勾股三角形；②求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)內(nèi)角和定理，題中新定義，以及已知等式求出x+y的值即可；
（2）①過B作BH垂直于AC，設(shè)AH=x，表示出CH，利用勾股定理表示出BH，再利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，表示出AH，BH，HC，利用題中新定義判斷即可得證；
②連接CE，利用圓周角定理得到三角形BCE為等腰直角三角形，根據(jù)BC與CE的長求出BE的長，過D作DK垂直于AB，設(shè)KD=h，表示出BK與AK的長，根據(jù)AK+BK=AB關(guān)于h的方程，求出方程的解得到h的值，即可求出DE的長．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{xy=2160①}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}②}\\{x+y+z=180③}\end{array}\right.$，
由③得：z=180-（x+y），
代入②得：（x+y）²-2xy=[180°-（x+y）]²，
把①代入得：x+y=102；
（2）①過B作BH⊥AC于H，設(shè)AH=x，則CH=1+$\sqrt{3}$-x，
Rt△ABH中，BH=$\sqrt{6-{x}^{2}}$，
Rt△CBH中，根據(jù)勾股定理得：6-x²+（1+$\sqrt{3}$-x）²=4，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，
∴∠A=45°，∠ABC=75°，∠C=60°，
∵45²+60²=75²，
∴△ABC是勾股三角形；
②連接CE，則∠BEC=∠BAC=45°，
又∵BE是直徑，
∴∠BCE=90°，
∴BC=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$，
過D作DK⊥AB于K，設(shè)KD=h，則BK=$\sqrt{3}$h，AK=h，
由AB=AK+BK=（$\sqrt{3}$+1）h=$\sqrt{6}$，得到h=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BD=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$，
則DE=BE-BD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 此題屬于圓綜合題，涉及的知識有：勾股定理，內(nèi)角和定理，圓周角定理，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．