Question

如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC．垂足為E，連結(jié)DE，F(xiàn)為線段DE上的一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）求證：AD•EC=DF•DE；
（2）AB=4，AD=3

3

，AE=3，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠DAF=∠EDC，∠ADF=∠CED，進(jìn)而得到△ADF∽△DEC，列出比例式化為等積式，即可解決問(wèn)題．
（2）求出DE的長(zhǎng)度；運(yùn)用△ADF∽△DEC，列出比例式，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠B，AD∥BC；而∠AFE=∠B，
∴∠ADF=∠CED，∠AFE=∠ADC；
∵∠AFE=∠FAD+∠ADF，∠ADC=∠ADF+∠EDC，
∴∠DAF=∠EDC，而∠ADF=∠CED，
∴△ADF∽△DEC，
∴AD：DE=DF：EC，
∴AD•EC=DE•DF．
（2）∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
由勾股定理得：DE²=AD²+AE²，
而AD=3

3

，AE=3，
∴DE=6；
∵△ADF∽△DEC，
∴AD：DE=AF：DC，而DC=AB=4，
∴AF=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答．