Question

如圖①，在□ABCD中，對角線AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．點E是BC邊上的動點，過點E作EF⊥BC于點E，交折線AB-AD于點F，以EF為邊在其右側(cè)作正方形EFGH，使EH邊落在射線BC上．點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度在BC邊上運動，當點E與點C重合時，點E停止運動，設點E的運動時間為t（）秒．

（1）□ABCD的面積為 ；當t= 秒時，點F與點A重合；

（2）點E在運動過程中，連接正方形EFGH的對角線EG，得△EHG，設△EHG與△ABC的重疊部分面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關系式以及對應的自變量t的取值范圍；

（3）作點B關于點A的對稱點Bˊ，連接CBˊ交AD邊于點M（如圖②），當點F在AD邊上時，EF與對角線AC交于點N，連接MN得△MNC．是否存在時間t，使△MNC為等腰三角形？若存在，請求出使△MNC為等腰三角形的時間t；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）40，2；（2）；（3）或2或.

【解析】

試題分析：（1）解Rt△ABC，即可求得□ABCD的面積；解Rt△ABC，即可求得t的值.

（2）分，，，討論即可.

（3）分CM=CN，MC=MN，NM=NC討論即可.

（1）設AB=a，

∵AC⊥AB，tan∠B=2，∴AC=2a.

∵BC=10，∴， 得.∴AB=，AC=.

∴□ABCD的面積為.

當點F與點A重合時，BF=，tan∠B=2，∴t=2.

（2）當時，△EHG與△ABC的重疊部分為△EHG，如答圖①，面積為；

當時，△EHG與△ABC的重疊部分為四邊形EHJI，如答圖②，面積為；

當時，△EHG與△ABC的重疊部分為四邊形EHJI，如答圖③，面積為；

當時，△EHG與△ABC的重疊部分為△EHJI，如答圖④，面積為.

綜上所述，S與t的函數(shù)關系式為

（3）存在.

如答圖⑤，過點A，M作BC的垂線，垂足分別為I，J.

∵點B關于點A的對稱點Bˊ，∴AM是△BˊBC的中位線. ∴AM=5.

∵BI=2，AI=MJ=4，BE=t，∴JC=3，MC=5，EC=，IC=8.

由△CNE∽CAI，得，即，∴NC=.

∴FM=，F(xiàn)N=，∴NM=.

當CM=CN時， .

當 MC=MN時，.

當NM=NC時，.

綜上所述，當或2或時，△MNC為等腰三角形.

考點：1.點和面動問題；2.平行四邊形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)定義；4.勾股定理；5.由實際問題列函數(shù)關系式；6.三角形中位線的判定和性質(zhì)；7.相似 三角形的判定和性質(zhì)；8.等腰三角形的判定；9.分類思想的應用.