Question

11．如圖，點A₁（1，0）在x軸上，過點A₁作A₁B₁∥y軸交直線y=$\sqrt{3}$x于點B₁，以A₁B₁為邊在A₁B₁的右側(cè)作等邊△A₁B₁C₁，再過點C₁作A₂B₂∥y軸，分別交直線x軸和直線y=$\sqrt{3}$x于A₂，B₂兩點，再以A₂B₂為邊在A₂B₂的右側(cè)作等邊△A₂B₂C₂…，按此規(guī)律進行下去，則等邊△A_nB_nC_n的面積為$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 由點A₁的橫坐標可得出點B₁的坐標，進而可得出A₁B₁的長度，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出點A₂的坐標，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出點B₂的坐標，進而可得出A₂B₂的長度，同理可得出：A_nB_n的長度，根據(jù)等邊三角形的面積公式即可求出△A_nB_nC_n的面積．

解答 解：當x=1時，y=$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
∴點B₁（1，$\sqrt{3}$），
∴A₁B₁=$\sqrt{3}$；
∵△A₁B₁C₁為等邊三角形，點A₁（1，0），
∴點A₂（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$，0），即（$\frac{5}{2}$，0）
∴點B₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$），
∴A₂B₂=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$；
同理可得出：A₃B₃=$\frac{25}{4}$$\sqrt{3}$，A₄B₄=$\frac{125}{8}$$\sqrt{3}$，…，A_nB_n=$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{n}{B}_{n}{C}_{n}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A_nB_n²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{4}$[$（\frac{5}{2}）^{n-1}$•$\sqrt{3}$]²．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征找出A_nB_n的長度是解題的關(guān)鍵．