Question

6．如圖，點C是線段AB上的動點，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作等邊△ACD、等邊△BCE，BD、AE交于點P．若AB=6，則PC的最大值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先證明△ACE≌△DCB，再證明PC平分∠APB，且∠APB=90°，作△APB的外接圓，延長PC交△APB的外接圓于點Q，可以發(fā)現(xiàn)當PQ⊥AB時，PC最大．

解答 解：如圖，∵△ACD與△BCE都為等邊三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=BD；
過C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，即$\frac{1}{2}$AE•CG=$\frac{1}{2}$BD•CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB，∵∠CDB=∠EAC，
∴∠ACP=∠DPA=60°，
∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，
作△APB的外接圓，延長PC交△APB的外接圓于Q，
∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，
∴QA=QB，點Q是定點，
∴當PQ⊥AB時，PC的長最大，
此時PA=PB，AC=BC，PC=AC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
故答案為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外接圓等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．