Question

14．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥BD的延長線于E，∠1=∠2，求證：BD=2CE．

Answer 1

分析 延長BA、CE相交于點F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=EF，從而得到CF=2CE，根據(jù)同角的余角相等求出∠F=∠ADB，然后利用“角角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后等量代換即可得證．

解答 證明：如圖，延長BA、CE相交于點F，
∵CE⊥BD，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
在△BCE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEF=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=CE+EF=2CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠ADB=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠1+∠F=90°，
∴∠F=∠ADB，
在△ABD和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ADB}\\{∠BAC=∠CAF=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形．