Question

19．已知a≠b，且滿足a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，求$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{^{2}+1}$的值為1．

Answer 1

分析 當(dāng)a≠b時，a、b可看作方程x²-3x+1+0的兩個實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=3，ab=1，再變形，然后利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：∵a≠b，且滿足a²-3a+1=0，b²-3b+1=0，
∴a、b可看作方程x²-3x+1+0的兩個實(shí)數(shù)根，
∴a+b=3，ab=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{1}{^{2}+1}$=$\frac{^{2}+1+{a}^{2}+1}{（{a}^{2}+1）（^{2}+1）}$
=$\frac{（a+b）^{2}-2ab+2}{（ab）^{2}+（a+b）^{2}-2ab+1}$
=$\frac{9-2+2}{1+9-2+1}$
=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．