Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線過點(diǎn)，這條拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為射線CB上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)D為此拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且?CPD=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，△PCD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）過點(diǎn)P作PE⊥DP，連接DE，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)，試求線段BF的最小值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）（m<3）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可.

（2）證明△PCD是等邊三角形，用m表示CP和PG，由即可求得S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）通過證明△CPF≌△CDF得∠PCF=∠DCF，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知線段BF 的最小值為點(diǎn)B到直線CF的距離．

（1）依題意，得 ，解得 .

∴拋物線的解析式為，即．

（2）∵，∴拋物線的對稱軸為．∴C（3，0）．

∵，∴．∴．

∴∠OCB=．∴∠PCD=．

∵∠CPD=，∴∠CDP=．∴△PCD是等邊三角形．

如圖，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，PG∥x軸，交CD于點(diǎn)G ，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴OQ=m，CQ=3-m．

∴，PG=CQ=3-m．

∴，即（m<3）．

（3）如圖，連接PF、CF．

∵PE⊥DP，F為DE的中點(diǎn)，∴PF==DF．

∵CP=CD，CF=CF，∴ △CPF≌△CDF．∴∠PCF=∠DCF．

∴點(diǎn)F在∠PCD的平分線所在的直線上．

∴BF的最小值為點(diǎn)B到直線CF的距離．

∵∠OCB=∠BCF=，∴點(diǎn)B到直線CF的距離等于OB．

∴BF的最小值為．

考點(diǎn)：1.動點(diǎn)問題；2.二次函數(shù)綜合題；3．待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5．銳角三角函數(shù)定義；6.特殊角的三角函數(shù)值；7．等邊三角形的判定和性質(zhì)；8.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；9.全等三角形的判定和性質(zhì)；10.垂直線段的性質(zhì).