Question

已知，如圖二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸交于點C（0，4）與x軸交于點A、B，點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1．直線AD交拋物線于點D（2，m），

（1）求二次函數(shù)的解析式并寫出D點坐標(biāo)；

（2）點Q是線段AB上的一動點，過點Q作QE∥AD交BD于E，連結(jié)DQ，當(dāng)△DQE的面積最大時，求點Q的坐標(biāo)；

（3）拋物線與y軸交于點C，直線AD與y軸交于點F，點M為拋物線對稱軸上的動點，點N在x軸上，當(dāng)四邊形CMNF周長取最小值時，求出滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）點D的坐標(biāo)為（2，4）．

（2）當(dāng)t=1時，S△DQE有最大值，所以此時Q點的坐標(biāo)為（1，0）；

（3）滿足條件的點N的坐標(biāo)為N（，0），點M的坐標(biāo)為M（1，1）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點C（0，4），點B（4，0），拋物線的對稱軸為x=1可得關(guān)于a，b，c的方程組，解方程求得a，b，c的值，從而得到二次函數(shù)的解析式，再將點D（2，m）代入二次函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的方程，求得m的值，從而求解；

（2）先求得A，B點的坐標(biāo)，過點E作EG⊥QB，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得EG= ，由于S△DQE=S△BDQ-S△BEQ，配方后即可得到S△DQE有最大值時Q點的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)待定系數(shù)法得到直線AD的解析式為：y=x+2，過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱，則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，得到四邊形CFNM的最短周長為：2+2時直線DF′的解析式為：y=3x-2，長而得到滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)．

（1）由題意有：，

解得：．

所以，二次函數(shù)的解析式為：y=-x2+x+4，

∵點D（2，m）在拋物線上，即m=-×22+2+4=4，

所以點D的坐標(biāo)為（2，4）．

（2）令y=0，即-x2+x+4=0，解得：x1=4，x2=-2，

∴A，B點的坐標(biāo)分別是（-2，0），（4，0），

如圖1，過點E作EG⊥QB，垂足為G，設(shè)Q點坐標(biāo)為（t，0），

∵QE∥AD，

∴△BEQ與△BDA相似，

∴ ，即，

∴EG=，

∴S△BEQ=×（4-t）×，

∴S△DQE=S△BDQ-S△BEQ

=×（4-t）×4-S△BEQ

=2（4-t）-（4-t）2

=-t2+t+

=-（t-1）2+3，

∴當(dāng)t=1時，S△DQE有最大值，所以此時Q點的坐標(biāo)為（1，0）；

（3）由A（-2，0），D（2，4），可求得直線AD的解析式為：y=x+2，即點F的坐標(biāo)為：F（0，2），

如圖2，過點F作關(guān)于x軸的對稱點F′，即F′（0，-2），再連接DF′交對稱軸于M′，x軸于N′，由條件可知，點C，D是關(guān)于對稱軸x=1對稱,

則CF+F′N+M′N′+M′C=CF+DF′=2+2，

則四邊形CFNM的周長=CF+FN+NM+MC≥CF+FN′+M′N′+M′C,

即四邊形CFNM的最短周長為：2+2．

此時直線DF′的解析式為：y=3x-2，

所以存在點N的坐標(biāo)為N（，0），點M的坐標(biāo)為M（1，1）．

考點：二次函數(shù)綜合題．