Question

18．已知函數y=mx²-（2m-5）x+m-2的圖象與x軸有兩個公共點．
（1）求m的取值范圍，并寫出當m取范圍內最大整數時函數的解析式；
（2）題（1）中求得的函數記為C₁．
①當n≤x≤-1時，y的取值范圍是1≤y≤-3n，求n的值；
②函數C₂：y=m（x-h）²+k的圖象由函數C₁的圖象平移得到，其頂點P落在以原點為圓心，半徑為$\sqrt{5}$的圓內或圓上．設函數C₁的圖象頂點為M，求點P與點M距離最大時函數C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）函數圖形與x軸有兩個公共點，則該函數為二次函數且△＞0，故此可得到關于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；
（2）先求得拋物線的對稱軸，當n≤x≤-1時，函數圖象位于對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，當當x=n時，y有最大值-3n，然后將x=n，y=-3n代入求解即可；
（3）先求得點M的坐標，然后再求得當MP經過圓心時，PM有最大值，故此可求得點P的坐標，從而可得到函數C₂的解析式．

解答 解：（1）∵函數圖象與x軸有兩個交點，
∴m≠0且[-（2m-5）]²-4m（m-2）＞0，
解得：m＜$\frac{25}{12}$且m≠0．
∵m為符合條件的最大整數，
∴m=2．
∴函數的解析式為y=2x²+x．

（2）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{4}$．
∵n≤x≤-1＜-$\frac{1}{4}$，a=2＞0，
∴當n≤x≤-1時，y隨x的增大而減小．
∴當x=n時，y=-3n．
∴2n²+n=-3n，解得n=-2或n=0（舍去）．
∴n的值為-2．

（3）∵y=2x²+x=2（x+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴M（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）．
如圖所示：

當點P在OM與⊙O的交點處時，PM有最大值．
設直線OM的解析式為y=kx，將點M的坐標代入得：-$\frac{1}{4}$k=-$\frac{1}{8}$，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴OM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
設點P的坐標為（x，$\frac{1}{2}$x）．
由兩點間的距離公式可知：OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得：x=2或x=-2（舍去）．
∴點P的坐標為（2，1）．
∴當點P與點M距離最大時函數C₂的解析式為y=2（x-2）²+1．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用一元二次方程根的判別式，二次函數的圖象和性質，勾股定理的應用，待定系數法求一次函數的解析式，找出PM取得最大值的條件是解題的關鍵．