Question

2．根據(jù)條件求二次函數(shù)的解析式
（1）拋物線過（-1，-22），（0，-8），（2，8）三點；
（2）拋物線過（-1，0），（3，0），（1，-5）三點；
（3）拋物線在x軸上截得的線段長為4，且頂點坐標是（3，-2）；
（4）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，0），（3，0），且最大值是3．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，再將點（-1，-22），（0，-8），（2，8）代入解析式中，即可求得拋物線的解析式；
（2）由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-3），然后把（1，-5）代入求出a的值即可．
（3）根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的兩交點坐標為（0，0），（8，0），則可設(shè)交點式y(tǒng)=ax（x-8），然后把頂點坐標代入求出a即可．
（4）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），再由最大值為3求出a的值，即可確定出拋物線解析式．

解答 解：（1）設(shè)出拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點（-1，-22），（0，-8），（2，8）代入解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=-22}\\{c=-8}\\{4a+2b+c=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=12}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為：y=-2x²+12x-8；
（2）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（1，-5）代入得-4a=-5，解得a=$\frac{5}{4}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{5}{4}$（x+1）（x-3），即拋物線的解析式為y=$\frac{5}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x-$\frac{15}{4}$；
（3）根據(jù)題意得拋物線的對稱軸為直線x=3，
而拋物線在x軸上截得的線段長為4，
所以拋物線與x軸的兩交點坐標為（1，0），（5，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-5），
把（3，-2）代入得a•2•（-2）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-5），即y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$．
（4）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3）=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，
由最大值為3，得到-4a=3，即a=-$\frac{3}{4}$，
則拋物線解析式為y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．本題的關(guān)鍵是利用對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標．