Question

如圖，直線L：y=-x+3與兩坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B．
（1）當(dāng)反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)與直線L總有公共點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．
（2）若反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）在第一象限內(nèi)與直線L相交于點(diǎn)C、D，當(dāng)CD=2

2

時(shí)，求k的值．
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你直接寫(xiě)出關(guān)于x的不等式-x+3＜

k

x

的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)與直線L總有公共點(diǎn)，得判別式大于或等于0，可得答案；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理，可得方程兩根的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得答案；
（3）反比例函數(shù)圖象落在直線上方的部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍，即為所求．

解答：解：（1）當(dāng)反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象在第一象限內(nèi)與直線L總有公共點(diǎn)時(shí)，得-x+3=

k

x

，
整理得：x²-3x+k=0，
△=（-3）²-4k≥0，
解得k≤

9

4

．
即k的取值范圍為：0＜k≤

9

4

；

（2）∵x²-3x+k=0，
設(shè)該方程的兩根是x₁、x₂．
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=k，
∵CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=2

2

，
∴2[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]=8，
即 2（9-4k）=8，
解得 k=

5

4

；

（3）當(dāng)k=

5

4

時(shí)，x²-3x+k=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

5

2

，
由反比例函數(shù)圖象在直線上方的區(qū)域得0＜x＜

1

2

或x＞

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用了韋達(dá)定理，兩點(diǎn)間的距離公式，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系．