Question

16．如圖，在矩形ABCD中，BC=1，將矩形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到矩形A′B′C′D′，點(diǎn)B′恰好落在BC的延長線上，邊A′B′交邊CD于點(diǎn)E．
（1）求證：B′C=BC．
（2）保持矩形A′B′C′D′不動(dòng)，將矩形ABCD沿射線BB′方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，設(shè)平移時(shí)間為t秒．
①當(dāng)矩形ABCD與矩形A′B′C′D′重疊部分為四邊形時(shí)，求重疊部分的面積為S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
②點(diǎn)A′關(guān)于AB的對稱點(diǎn)記作點(diǎn)F，直接寫出直線DF與矩形A′B′C′D′的邊平行時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷出△DBB′是等腰三角形；
（2）分三段計(jì)算，由矩形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)先計(jì)算出S_△A′D′G，S_{四邊形D′GEF}即可；
（3）先由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示出相關(guān)的線段，再用比例式$\frac{AD′}{A′M}=\frac{D′M}{A′M}$，計(jì)算即可．

解答 證明：（1）如圖①，

連接DB，DB′，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴DC⊥BB′，
由旋轉(zhuǎn)有，DB=DB′，
∴B′C=BC；
（2）如圖②，

當(dāng)0＜t≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，作D′G∥DC，交A′B′于G，
∵四邊形A′B′C′D′是矩形，
∴A′B′∥D′C′
∴四邊形D′GEF是平行四邊形，
由旋轉(zhuǎn)有∠A′D′G=45°，
∵A′D′=1，
∴S_△A′D′G=$\frac{1}{2}$×A′D′²=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，D′G=$\sqrt{2}$，
由運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴DD′=t，
∴S_{四邊形D′GEF}=D′G×DD′=$\sqrt{2}$t，
∴S=S_△A′D′G+S_{四邊形D′GEF}=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$t，
當(dāng)t=1時(shí)，如圖③，

∵四邊形ABCD，A′B′′D′是矩形，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
∴S=AM×AD=$\sqrt{2}$A′D′×AD=$\sqrt{2}$×1×1=$\sqrt{2}$；
當(dāng)1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t＜2時(shí)，如圖④，

過B′作B′M∥AB，
同理：四邊形NMB′H是平行四邊形，
∴MN=B′H=$\sqrt{2}$B′C′=$\sqrt{2}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，
∴BB′=2-t，
∴S=S_△B′C′M+S_{四邊形NMB′H}
=$\frac{1}{2}$×B′C′²+MN×BB′
=$\frac{1}{2}$×1+$\sqrt{2}$（2-t）
=$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t；
（3）
點(diǎn)A′關(guān)于AB的對稱點(diǎn)記作點(diǎn)F，
∴A′F⊥AB，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD⊥AB，
∴A′F∥AD，
∵直線DF與矩形A′B′C′D′的邊平行
①如圖⑤，

當(dāng)DF∥A′D′時(shí)，四邊形A′FDD′是平行四邊形，
∴A′F=DD′=t，
∴AD′=1-t，
∵點(diǎn)A′與F關(guān)于AB對稱，
∴A′M=FM=$\frac{t}{2}$，
∵∠AD′M=∠MA′F=45°，
∴A′M=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∴D′M=A′D′-A′M=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，
∵AD∥A′F，
∴$\frac{AD′}{A′M}=\frac{D′M}{A′M}$，
∴$\frac{1-t}{\frac{t}{2}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}{\frac{\sqrt{2}}{2}t}$，
∴t=2-$\sqrt{2}$；
②如圖⑥，

當(dāng)DF∥D′C′時(shí)，四邊形D′GFD是平行四邊形，
∴GF=DD′=t，
∵A′G=$\sqrt{2}$A′D′=$\sqrt{2}$，
∴A′F=A′G+GF=$\sqrt{2}$+t，
∵A′F=2（t-1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2t-2+$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$+t=2t-2+$\sqrt{2}$，
∴t=2，
即：直線DF與矩形A′B′C′D′的邊平行時(shí)t的值為2-$\sqrt{2}$或2．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，根據(jù)條件表示出線段是接本題的關(guān)鍵，難點(diǎn)是分段求函數(shù)解析式和分情況求t的值．