Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，菱形PQRS的四個頂點(diǎn)P、Q、R、S分別在矩形的邊AB、BC、CD、DA上．
（1）求證：△ASP≌CQR；
（2）設(shè)AS=x，AP=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并求出這個函數(shù)的定義域；
（3）當(dāng)x取定義域中的最小值時，菱形PQRS的面積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接SQ，PR，相交于點(diǎn)O，連接BD，利用菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)即可證明：△ASP≌CQR；
（2）因?yàn)锳S=x，所以可得SD=BQ=8-x，由勾股定理可得x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，進(jìn)而得到y(tǒng)和x的關(guān)系式；
（3）當(dāng)x取定義域中的最小值時即x=2時，可求出PA，SO的長，進(jìn)而可求出菱形的面積．

解答：（1）證明：連接SQ，PR，相交于點(diǎn)O，連接BD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=DC=5，AD=BC=10．
∵四邊形PQRS是菱形，
∴SO=QO，PO=RO
∴點(diǎn)O是菱形的中心，也是矩形的中心．
∴BD過點(diǎn)O，
∴△SOD≌△QOB，△POB≌△ROD，
∴SD=BQ，PB=DR，AS=QC，AP=RC，
∴△ASP≌CQR；
（2）∵AS=x，SD=BQ=8-x，
∵AP=y，BP=4-y，
∴DR=x，AP=RC=5-x，
∴x²+y²=（8-x）²+（4-y）²，
∴y=10-2x，（3≤x≤5）；
（3）∵x=2時，PR=4

5

，SO=

5

SQ=2

5

，
∴菱形PQRS的面積是20．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用及二次函數(shù)的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，難度較大．