Question

3．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連結(jié)AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF；②∠AEF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤△CEF為等腰直角三角形，其中正確的有①③⑤（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AF，∠B=∠D，=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，故①正確，
∵BC=DC，
∴CE=CF，
∴⑤△CEF為等腰直角三角形，
由于AE=AF，CW=CF，
∴AC垂直平分EF，故③⑤正確，
∵△AEF是等邊三角形，∴∠AEF=60°，故②錯(cuò)誤，
設(shè)EC=x，由勾股定理，得
EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{6}x+\sqrt{2}x}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$-x=$\frac{\sqrt{3}x-x}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x，故④錯(cuò)誤，
故答案為：①③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形和正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，證得Rt△ABE≌Rt△ADF是解題的關(guān)鍵．