Question

直線(xiàn)CP是經(jīng)過(guò)等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C，并且在三角形的外側(cè)所作的直線(xiàn)，點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接BE，CE，其中BE交直線(xiàn)CP于點(diǎn)F．
（1）若∠PCA=25°，求∠CBF的度數(shù)．
（2）連接AF，設(shè)AC與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)M，請(qǐng)判斷△AFM的形狀．
（3）求證：EF²+BF²=2BC²．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）由點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，可得△ACE是等腰三角形，結(jié)合等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)即可求得∠CBF的度數(shù)；
（2）先判定△EFC和△AFC全等，可得∠CEB=∠CAF，由等量代換可得∠FAM+∠FMA=90°，進(jìn)而得出∠AFB=90°，所以△AFM是直角三角形．
（3）在直角三角形ABC和直角三角形AFB中，分別運(yùn)用勾股定理，結(jié)合線(xiàn)段的等量代換即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)CP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，∠PCA=25°，
∴CP是AE垂直平分線(xiàn)，∴FA=FE，CA=CE，∴∠ECP=∠PCA=25°，
∵△ABC為等腰直角三角形，∴CA=CB，∴CE=CB，∠CEB=∠CBE
∴∠ECB=∠ECP+∠PCA+∠ACB=25°+25°+90°=140°，
∴∠CBF=

1

2

∠ECB=

1

2

×140°=70°．

（2）在△EFC和△AFC中

EC=AC EF=AF FC=FC

，所以在△EFC和△AFC（SSS），
∴∠CEB=∠CAF，又∵∠CEB=∠CBE．
∴∠CAF=∠CBE，又∵∠CBE+∠CMB=90°，
∴∠FAM+∠CMB=90°，
∵∠CMB=∠FMA，
∴∠FAM+∠FMA=90°，
∴∠AFB=90°，
∴△AFM是直角三角形．
（3）在Rt△ABC中：AC²+BC²=AB²．
∵AC=BC．
∴AB²=2BC²．
在Rt△AFB中：AF²+BF²=AB²．
∵AF=EF，
∴EF²+BF²=AB²，
∴EF²+BF²=2BC²．
∵AF=EF，
∴EF²+BF²=AB²，
∴EF²+BF²=2BC²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用角和線(xiàn)段的等量代換證得結(jié)論．