Question

1．直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，以AB為邊在第二象限內作等邊△ABC
（1）求點C的坐標；
（2）是否存在點M（m，2）使得△ABM的面積等于△ABC的面積，如存在，求出點M的坐標；不存在，說明理由
（3）若點D（4，0）在直線AB上，是否存在點P，使得△ADP為等腰三角形，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據函數的關系式我們可求出A，B兩點的坐標為（-4$\sqrt{3}$，0），（0，4），OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，因此∠OAB=30°，因為三角形CAB是個等邊三角形，因此∠CAB=60°，那么CA⊥OA，C點的橫坐標就是A點的橫坐標，如果求出CA的長那么就能求出C點的坐標了，根據AC=AB，有OA、OB的長，根據勾股定理我們可求出AB的長，也就求出AC的長，那么C點的坐標就求出來了．
（2）根據S_△ABC=S_△ABM，兩三角形同底，也應該等高，因此M必在與AB平行的直線上，因此這條直線的斜率與已知的函數的斜率相同，可用C點坐標先確定MC所在直線的函數關系式，然后將M的坐標代入其中求出M的坐標．
（3）可分三種情況進行討論即可求得．

解答 解：（1）根據直線的函數關系式，我們可得出A點的坐標為（-4$\sqrt{3}$，0），B點的坐標為（0，4），
那么OA=4$\sqrt{3}$，OB=4，直角三角形ABO中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=8，∠BAO=30°，
根據三角形ABC是個等邊三角形，因此∠CAB=60°．∠CAO=∠CAB+∠BAO=90°，
因此C點的橫坐標應該和A點相同，
∵CA=AB=BC，
∴AC=AB=8，
那么C點的坐標為（-4$\sqrt{3}$，8）．

（2）由題意可知，M必在與AB平行的直線上，
當M、C在直線AB同側時，設這條直線為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，
將C點的坐標代入這條直線中得：-4+b=8，b=12，
因此這條直線的解析式是y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+12
當M、C在直線AB的異側時，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4，
把y=2代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+12得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+12=2，m=-10$\sqrt{3}$，
把y=2代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-4得，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-4=2，m=6$\sqrt{3}$，
因此M點的坐標為（-10$\sqrt{3}$，2）或（6$\sqrt{3}$，2），

（3）分三種情況：

①以P為頂點，AP、DP為腰，圖1，過P作PM⊥AD，PD就是線段AD的垂直平分線，AM=DM=2+2$\sqrt{3}$，
OM=DM-OD=2+2$\sqrt{3}$-4=2$\sqrt{3}$-2，那么P的橫坐標就是2-2$\sqrt{3}$，代入函數式中即可求出P的坐標為（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2），
此時P點的坐標是（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）；
②以A為頂點，AP，AD為腰，如圖2，過P₁作P₁E⊥x軸于E，由（1）知，∠BAO=30°，AP₁=AD=4+4$\sqrt{3}$，
在直角三角形AP₁E中，P₁E=$\frac{1}{2}$AP₁=2+2$\sqrt{3}$，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP₁=2$\sqrt{3}$+6，
∴P₁（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2），
同理：P₂（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）
此時P點的坐標是（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2）或（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）；
③以D為頂點，AD，DP為腰，如圖3，
同理證得PG=2$\sqrt{3}$+6，DG=2+2$\sqrt{3}$，
∴P點的坐標是（2$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$+6），
因此存在這樣的點P，且P的坐標為（2-2$\sqrt{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2）或（-6$\sqrt{3}$-6，-2$\sqrt{3}$-2）或（6-2$\sqrt{3}$，2+2$\sqrt{3}$）或（2$\sqrt{3}$+6，2$\sqrt{3}$+6）．

點評 本題綜合考查了一次函數和直角三角形的應用，本題中利用直角三角形來求線段的長，從而得出點的坐標是解題的基本思路．要注意第三問中要把所有的情況都考慮到，不要遺漏任何一種情況．