Question

如圖，直線AB：y=-

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線CD：y=2x+4與x軸、y軸分別交于C、D兩點，與直線AB交于點P．
（1）求四邊形PCOB的面積；
（2）直線CD上是否存在點M，使得△PAM的面積等于四邊形PCOB的面積？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）過點P作PH⊥x軸于點H，如圖1，由條件易求出點A、B、C、D、P的坐標，從而可求出OA、OB、OC、OD、OH、PH、CH的值，然后運用割補法就可求出四邊形PCOB的面積．
（2）①若點M在點P的上方，過點M作ME⊥x軸于點E，如圖2，可先求出△PCA的面積，從而得到△MCA的面積，進而得到ME的長（即點M的縱坐標），由點M在直線CD上可求出點M的橫坐標，就可得到點M的坐標；②若點M在點P的下方，過點M作ME⊥x軸于點E，如圖3，仿照①中的解題過程，就可求出點M的坐標．

解答：解：（1）過點P作PH⊥x軸于點H，如圖1．
∵直線y=-

1

2

x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，2），
∴OA=4，OB=2．
∵直線y=2x+4與x軸、y軸分別交于C、D兩點，
∴點C的坐標為（-2，0），點D的坐標為（0，4），
∴OC=2，OD=4．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+2 y=2x+4

，
解得：

x=- 4 5 y= 12 5

．
∵點P是直線y=-

1

2

x+2與直線y=2x+4的交點，
∴點P的坐標為（-

4

5

，

12

5

），
∴OH=

4

5

，PH=

12

5

，
∴CH=CO-OH=2-

4

5

=

6

5

，
∴S_{四邊形PCOB}=S_△CHP+S_梯形PHOB
=

1

2

×

6

5

×

12

5

+

1

2

×（

12

5

+2）×

4

5

=

16

5

，
∴四邊形PCOB的面積為

16

5

．

（2）直線CD上存在點M，使得△PAM的面積等于四邊形PCOB的面積．
①若點M在點P的上方，過點M作ME⊥x軸于點E，如圖2．
由題可得：S_△MPA=S_{四邊形PCOB}=

16

5

．
∵S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA+S_△MPA=

36

5

+

16

5

=

52

5

，
∴

1

2

×6×ME=

52

5

，
∴ME=

52

15

，即y_M=

52

15

．
∵點M在直線y=2x+4上，
∴2x_M+4=

52

15

，
∴x_M=-

4

15

，
∴點M的坐標為（-

4

15

，

52

15

）．
②若點M在點P的下方，過點M作ME⊥x軸于點E，如圖3．
∵S_△MPA=S_{四邊形PCOB}=

16

5

，S_△PCA=

1

2

AC•PH=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
∴S_△MCA=S_△PCA-S_△MPA=

36

5

-

16

5

=4，
∴

1

2

×6×ME=4，
∴ME=

4

3

，即y_M=

4

3

．
∵點M在直線y=2x+4上，
∴2x_M+4=

4

3

，
∴x_M=-

4

3

，
∴點M的坐標為（-

4

3

，

4

3

）．
綜上所述：符合條件的點M的坐標為（-

4

15

，

52

15

）或（-

4

3

，

4

3

）．

點評：本題考查了直線與坐標軸的交點問題、直線與直線的交點問題，運用割補法是解決第（1）小題的關(guān)鍵，運用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．