Question

9．在菱形ABCD中，對角線BD=4$\sqrt{5}$，菱形ABCD的面積為20．
（1）菱形的邊長AB=5．
（2）點(diǎn)P為線段BD上一動點(diǎn)（不與B，D重合），連接PC，點(diǎn)Q在BC上，且∠QPC=∠DBC，當(dāng)PB為何值時，QC有最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，根據(jù)菱形的面積公式得到AC=2$\sqrt{5}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BP}{CD}=\frac{BQ}{DP}$，即$\frac{BP}{5}=\frac{5-CQ}{4\sqrt{5}-BP}$，設(shè)BP=x，CQ=y，于是得到4$\sqrt{5}$x-x²=25-5y，求得y=$\frac{{x}^{2}-8\sqrt{5}x+25}{5}$=$\frac{1}{5}$（x-2$\sqrt{5}$）²+1，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴$\frac{1}{2}$BD•AC=菱形ABCD的面積，
∴$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$•AC=20，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∴AO=$\sqrt{5}$，BO=2$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=5；
故答案為：5；

（2）∵∠DBC=∠BDC=∠QPC，∠BPC=∠BPQ+∠QPC，∠BPC=∠BDC+∠PCD，
∴∠BPQ=∠PCD，
∴△BPQ∽△DCP，
∴$\frac{BP}{CD}=\frac{BQ}{DP}$，
即$\frac{BP}{5}=\frac{5-CQ}{4\sqrt{5}-BP}$，
設(shè)BP=x，CQ=y，
∴4$\sqrt{5}$x-x²=25-5y，
∴y=$\frac{{x}^{2}-8\sqrt{5}x+25}{5}$=$\frac{1}{5}$（x-2$\sqrt{5}$）²+1，
∴當(dāng)x=2$\sqrt{5}$時，y有最小值，
即PB為2$\sqrt{5}$時，QC有最小值．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．