Question

3．如圖，E、F、G、H分別是凸四邊形ABCD的四邊的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H這四點(diǎn)圍成四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
（2）要使四邊形EFGH成為菱形，則AC與BD之間應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是AC=BD．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位線定理得出HE∥AC，HE=$\frac{1}{2}$AC，GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，因此HE=GF且HE∥GF；即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出EF=HE，由（1）得：HE=$\frac{1}{2}$AC，同理：EF=$\frac{1}{2}$BD，因此AC=BC．

解答 （1）證明：如圖1所示，連接AC，
∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊的中點(diǎn)，
∴HE∥AC，HE=$\frac{1}{2}$AC，GF∥AC，GF=$\frac{1}{2}$AC，
∴HE=GF且HE∥GF；
∴四邊形EFGH是平行四邊形． 
（2）解：連接BD，如圖2所示：
若四邊形EFGH成為菱形，
則EF=HE，
由（1）得：HE=$\frac{1}{2}$AC，
同理：EF=$\frac{1}{2}$BD，
∴AC=BC；
故答案為：AC=BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、中點(diǎn)四邊形、菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．