Question

13．已知：△CDO≌△ABO，其中C與A，D與B對應，在△CDO繞點O旋轉過程中，連接AC和BD，設直線AC與BD的交點為P．
（1）如圖1，若△ABO是等邊三角形，請?zhí)骄坎⒉孪耄?br />線段AC與BD的數(shù)量關系為AC=BD，∠APB的度數(shù)為60°；
（2）如圖2，若△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°，OA=2，OB=3，設線段AC=kBD，求證：AC⊥BD，并求出k的值；
（3）如圖3，若△ABO是銳角三角形，且∠AOB=65°，OA=2，OB=3，延長BO至點E，使OE=OB，連接DE，設線段AC=kBD．
①直接寫出k的值和∠APB的度數(shù)；
②求AC²+（kDE）²的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質得到AO=BO=OD=OC，∠AOB=∠COD=60°，根據(jù)全等三角形的性質得到∠OAC=∠OBD，推出A，B，O，D四點共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得到OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，由相似三角形的性質得到∠OAC=∠OBD根據(jù)余角的性質得到AD⊥BD根據(jù)相似三角形的性質得到k=$\frac{2}{3}$；
（3）①根據(jù)全等三角形的性質得到OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，根據(jù)相似三角形的性質得到k=$\frac{2}{3}$；②由已知得到O是BE的中點，根據(jù)全等三角形的性質得到OD=OB=$\frac{1}{2}$BE，由圓周角定理得到∠BDE=90°根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）∵△CDO≌△ABO，△ABO是等邊三角形，
∴AO=BO=OD=OC，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC與△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC=∠BOD}\\{OC=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∴A，B，O，D四點共圓，
∴∠APB=∠AOB=60°，
故答案為：AC=BD，60°；

（2）∵△CDO≌△ABO，
∴OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OA}{OB}$，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠AOB=90°，
∴∠OBD+∠ABP+∠OAB=90°，
∴∠OAC+∠ABP+∠OAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴AD⊥BD，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∵AC=kBD，
∴k=$\frac{2}{3}$；

（3）①∵△CDO≌△ABO，
∴OC=OA，OD=OB，∠AOB=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD，
∴$\frac{OC}{OD}=\frac{OA}{OB}$，
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴A，B，O，D四點共圓，
∴∠APB=∠AOB=65°，
∵△AOC∽△BOD，
∴$\frac{AC}{BD}=\frac{OA}{OB}=\frac{2}{3}$，
∵AC=kBD，
∴k=$\frac{2}{3}$；
②∵延長BO至點E，使OE=OB，
∴O是BE的中點，
∵△CDO≌△ABO，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$BE，
∴點D在以O為圓心，BE為直徑的圓上，
∴∠BDE=90°，
∴BD²+DE²=BE²=6²=36，
∴AC²+（kDE）²=（kBD）²+（kDE）²=k²（BD²+DE²）=（$\frac{2}{3}$）²×36=16．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的判定和性質，勾股定理，四點共圓，圓周角定理，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．