Question

20．如圖，過正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，連接EF．
（1）求證：EF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，DF=$\sqrt{5}$，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD=∠OEF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEF=∠OFE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）連接PF，由BF是⊙O的直徑，得到∠BPF=90°，推出四邊形BCFP是矩形，根據(jù)tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，設(shè)CF=3x，BC=4x，于是得到3x+$\sqrt{5}$=4x，x=$\sqrt{5}$，求得AD=BC=4$\sqrt{5}$，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE=OF：OB=1：1即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OE，BF，PF，
∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直徑，
∵⊙O與AD相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AD，
∵四邊形ABCD的正方形，
∴CD⊥AD，
∴OE∥CD，
∴∠EFD=∠OEF，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠OFE=∠EFD，
∴EF平分∠BFD；

（2）連接PF，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BPF=90°，
∴四邊形BCFP是矩形，
∴PF=BC，
∵tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，
設(shè)CF=3x，BC=4x，
∴3x+$\sqrt{5}$=4x，x=$\sqrt{5}$，
∴AD=BC=4$\sqrt{5}$，
∵點(diǎn)E是切點(diǎn)，
∴OE⊥AD
∴DF∥OE∥AB
∴DE：AE=OF：OB=1：1
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{5}$，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．