Question

如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=

3

．運動過程中，當(dāng)點D到點O的距離最大時，OA長度為（　�。�

• A、

  3

  -1
• B、

  3

• C、2
• D、2-

  3

Answer 1

考點：勾股定理,三角形三邊關(guān)系,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：取AB的中點，連接OE、DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、E、D三點共線時點D到點O的距離最大，過點A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，從而得到點F是OD的中點，判斷出AF垂直平分OD，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得OA=AD．

解答：解：如圖，取AB的中點，連接OE、DE，
∵∠MON=90°，
∴OE=AE=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
∵三邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=

3

，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE=

AD2+AE2

=

( 3 )2+12

=2，
由三角形的三邊關(guān)系得，O、E、D三點共線時點D到點O的距離最大，
此時，OD=OE+DE=1+2=3，
過點A作AF⊥OD于F，則cos∠ADE=

AD

DE

=

DF

AD

，
即

3

2

=

DF

3

，
解得DF=

3

2

，
∵OD=3，
∴點F是OD的中點，
∴AF垂直平分OD，
∴OA=AD=

3

．
故選B．

點評：本題考查了勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，作輔助線并判斷出OD最大時的情況是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．