Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點D為AC中點，點E為邊AB上一動點，點F為射線BC上一動點，且∠FDE=90°．
（1）當(dāng)DF∥AB時，聯(lián)結(jié)EF，求DE：DF值；
（2）當(dāng)點F在線段BC上時，設(shè)AE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)CE，若△CDE為等腰三角形，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由三角形的中位線定理求出DF、DE的長，即可求出DE：DF值；
（2）過點E作EH⊥AC于點H，由平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可求出HE、HD的表達(dá)式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）先分析出△DCE為等腰三角形時的兩種情況，再根據(jù)題意畫出圖形，當(dāng)DC=DE時，點F在邊BC上，過點D作DG⊥AE于點G，可求出AE的長度，由AE的長可判斷出F的位置，進(jìn)而可求出BF的長；當(dāng)ED=EC時，先判斷出點F的位置，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及判定定理即可解答．

解答 解：（1）∴AC=BC=6，∠ACB=90°，
∴$AB=6\sqrt{2}$，
∵DF∥AB，$CD=\frac{1}{2}AC$，
∴$DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$，
∴$DE=\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴在Rt△DEF中，$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$；

（2）過點E作EH⊥AC于點，則$HE=HA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
∴$HD=3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$，
根據(jù)∠DHE=∠C=90°，∠DEH=∠FDC，可得△HDE∽△CFD，
∴$\frac{HD}{CF}=\frac{HE}{DC}$，
∴$\frac{{3-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{6-y}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}x}}{3}$，
∴$y=-\frac{{9\sqrt{2}}}{x}+9$$（\sqrt{2}＜x≤3\sqrt{2}）$；

（3）∵$CE≥\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$，CD=3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE為等腰三角形，只有DC=DE或ED=EC兩種可能：
①當(dāng)DC=DE時，點F在邊BC上，
過點D作DG⊥AE于點G（如圖①），
可得：$AE=2AG=3\sqrt{2}$，
即點E在AB中點，
∴此時F與C重合，
∴BF=6；
②當(dāng)ED=EC時，點F在BC的延長線上，
過點E作EM⊥CD于點M（如圖②），
可證：△DFC∽△DEM，
∴$\frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$，
∴$\frac{CF}{{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{{3+\frac{3}{2}}}$，
∴CF=1，
∴BF=7，
綜上所述，BF為6或7．

點評 本題主要考查了是一道綜合題，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．運用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．