Question

古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10 …，這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16…，這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．

（1）第5個三角形數(shù)是　　，第n個“三角形數(shù)”是　　，第5個“正方形數(shù)”是　　，第n個正方形數(shù)是　   ；

（2）經(jīng)探究我們發(fā)現(xiàn)：任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰“三角形數(shù)”之和．

例如：①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10，④　      　，⑤　   　，…．

請寫出上面第4個和第5個等式；

（3）在（2）中，請?zhí)骄康趎個等式，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）15，，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3）見解析

【解析】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第5個三角形數(shù)等于第4個三角形數(shù)加上5，即為15，第n個“三角形數(shù)”等于第（n﹣1）個“三角形數(shù)”加上n，即為1+2+3+…+n，計算即可；第5個“正方形數(shù)”是52，第n個正方形數(shù)是n2；

（2）根據(jù)①4=1+3，②9=3+6，③16=6+10即可得出第4個等式為第5個三角形數(shù)等于第4個三角形數(shù)加上第5個三角形數(shù)，第5個等式為第6個三角形數(shù)等于第5個三角形數(shù)加上第6個三角形數(shù)；

（3）第n個等式為第（n+1）個“三角形數(shù)”等于第n個“三角形數(shù)”加上第（n+1）個“三角形數(shù)”．

【解析】
（1）15，，25，n2；

（2）25=10+15，36=15+21；

（3），

∵右邊=

=

=n2+2n+1=（n+1）2=左邊，

∴原等式成立．

故答案為15，，25，n2；25=10+15，36=15+21．