Question

6．已知拋物線y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）．設(shè)點(diǎn)C（1，-4），欲在拋物線的對(duì)稱軸上確定一點(diǎn)D，使得|AD-CD|的值最大，則D點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，-8）．

Answer 1

分析 首先利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后可求得拋物線的對(duì)稱軸方程x=2，又由作點(diǎn)C關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)C′，直線AC′與x=3的交點(diǎn)即為D，求得直線AC′的解析式，即可求得答案．

解答 解：∵解：∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），
∴$\frac{1}{2}$×4²+4b=0，
∴b=-2，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-2x=$\frac{1}{2}$（x-2）²-2，
∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=2，
∵點(diǎn)C（1，-4），
∴作點(diǎn)C關(guān)于x=2的對(duì)稱點(diǎn)C′（3，-4），
直線AC′與x=2的交點(diǎn)即為D，
因?yàn)槿我馊∫稽c(diǎn)D（AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)除外）都可以構(gòu)成一個(gè)△ADC．而在三角形中，兩邊之差小于第三邊，即|AD-CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延長(zhǎng)線上的點(diǎn)的時(shí)候取到|AD-C′D|=AC′最大，
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{3k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=-16}\end{array}\right.$，
∴直線AC′的解析式為y=4x-16，
當(dāng)x=2時(shí)，y=-8，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-8）．
故答案為：（2，-8）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，以及距離差最小問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．