Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長是2，∠EAF=m°，將∠EAF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交BC、CD于點E、F，G是CB延長線上一點，且始終保持BG=DF．
（1）求證：△ABG≌△ADF；
（2）求證：AG⊥AF；
（3）當(dāng)EF=BE+DF時，①求m的值；②若F是CD的中點，求BE的長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）在正方形ABCD中，AB=AD=BC=CD=2，∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°．已知BG=DF，所以得出△ABG≌△ADF，
（2）由△ABG≌△ADF，得出∠GAB=∠FAD，從而得到∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，得出結(jié)論AG⊥AF；
（3）①：由△ABG≌△ADF，AG=AF，BG=DF．得到EF=BE+DF，EF=BE+BG=EG．AE=AE，得出△AEG≌△AEF．所以∠EAG=∠EAF，∠EAF=

1

2

∠GAF=45°，即m=45；
②若F是CD的中點，則DF=CF=BG=1．設(shè)BE=x，則CE=2-x，EF=EG=1+x．在Rt△CEF中，利用勾股定理得出BE的長為

2

3

．

解答：
解：（1）證明：在正方形ABCD中，
AB=AD=BC=CD=2，
∠BAD=∠C=∠D=∠ABC=∠ABG=90°．
∵BG=DF，
在∴△ABG和△ADF

AB=AC ∠ABG=∠ADF BG=DF

∴△ABG≌△ADF（SAS）；
（2）證明：∵△ABG≌△ADF，
∴∠GAB=∠FAD，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF
=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，
∴AG⊥AF；
（3）①解：△ABG≌△ADF，
∴AG=AF，BG=DF．
∵EF=BE+DF，
∴EF=BE+BG=EG．
∵AE=AE，
在△AEG和△AEF中．
∴

AG=AF EG=EF AE=AE

∴△AEG≌△AEF（SSS）．
∴∠EAG=∠EAF，
∴∠EAF=

1

2

∠GAF=45°，
即m=45；
②若F是CD的中點，則DF=CF=BG=1．
設(shè)BE=x，則CE=2-x，EF=EG=1+x．
在Rt△CEF中，CE ²+CF ²=EF ²，即（ 2-x ） ²+1 ²=（ 1+x ） ²，得x=

2

3

．
∴BE的長為

2

3

．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形全等求出相等的角與邊．