Question

一次函數(shù)y=

2

3

x-2的圖象分別交x軸、y軸于點A，B，O是原點．
（1）求△AOB的面積；
（2）過△AOB的頂點能否畫出直線把△AOB分成面積相等的兩部分？如能，可以畫出幾條？寫出這樣的直線相應的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：

分析：（1）△ABO的面積S=

1

2

OA•OB，找出A、B兩點坐標即可求出△ABO的面積；
（2）先設出該直線的解析式，分別從不同定點計算，看是否存在這種直線．

解答：解：（1）直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，
∴A（3，0），B（0，-2）．
即OB=|-2-0|=2，OA=|3-0|=3，
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×3×2=3；

（2）過三角形AOB的頂點能畫出直線把△ABO分成面積相等的兩部分，這樣的直線可以畫出3條．
①△ABO的OB邊上的中線AC可把△ABO分成面積相等的兩部分．
∵OB=2，C是OB的中點，
∴C（0，-1）．
設直線AC的解析式為y=k₁x+b₁．
根據(jù)題意，得

3k1+b1=0 b1=-1

，
解得

k1= 1 3 b1=-1

．
即直線AC的解析式為y=

1

3

x-1；
②△ABO的OA邊上的中線BD可把△ABO分成面積相等的兩部分．
∵OA=3，D是OA的中點，
∴D（

3

2

，0）．
設直線BD的解析式為y=k₂x+b₂．
根據(jù)題意，得

b2=-2 3 2 k2+b2=0

，
解得

k2= 4 3 b2=-2

．
即直線BD的解析式為y=

4

3

x-2；
③△ABO的AB邊上的中線OE可把△ABO分成面積相等的兩部分．
根據(jù)三角形的中位線可求得E（

3

2

，-1）．
設直線OE的解析式為y=k₃x．
根據(jù)題意，得，

3

2

k₃=-1
解得k=-

2

3

．
即直線OE的解析式為y=-

2

3

x．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積等，熟練掌握待定系數(shù)法和一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．