Question

7．已知三角形ABC，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，CE⊥BD于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)BD平分∠B時(shí)，判斷BD與CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，在（1）的條件下，做AF⊥BD于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷BF、FE、EC三條線段滿足怎樣的等量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，AC=6時(shí)，直線BE上一動(dòng)點(diǎn)P，使得三角形AEP為等腰三角形，求此時(shí)BP的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建等腰三角形和全等三角形，證明△BEC≌△BEG得EC=EG，再證明△ABD≌△ACG，得BD=CG，所以BD=2EC；
（2）BF=EC+EF，如圖2，先證明△ABH≌△ACE，得BH=EC，AH=AE，由線段的和BF=BH+FH可得結(jié)論；
（3）分三種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)AE=EP時(shí)，如圖3，與（2）同理，依次求AD、BD、AF、AH、FH的長(zhǎng)，根據(jù)BP=BF+EF+EP求出長(zhǎng)度；當(dāng)AE=EP時(shí)，如圖4，③當(dāng)AE=AP時(shí)，如圖5，同理依次求出BP的長(zhǎng)．

解答 解：（1）BD=2CE，理由是：
如圖1，延長(zhǎng)CE、BA交于G，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=22.5°，
∵CE⊥BE，
∴∠BEG=∠BEC=90°，
∵BE=BE，
∴△BEC≌△BEG，
∴EG=EC，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠GCA=∠ABD，
∵∠BAC=∠CAG=90°，
∴△ABD≌△ACG，
∴BD=CG，
∴BD=CG=2EC；
（2）BF=EC+EF，
理由是：
如圖2，過(guò)A作AH⊥AE，交BE于H，
∴∠HAE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAH+∠HAD=∠EAC+∠HAD，
∴∠BAH=∠EAC，
∵AB=AC，∠ABH=∠ACE，
∴△ABH≌△ACE，
∴BH=EC，AH=AE，
∵AF⊥EH，
∴EF=FH，
∵BF=BH+FH，
∴BF=EC+EF；
（3）當(dāng)△AEP為等腰三角形時(shí)，有三種情況：
①當(dāng)AE=EP時(shí)，如圖3，
過(guò)A作AF⊥BD于F，過(guò)A作AH⊥AE于H，
同理得△ABH≌△ACE，
∴AH=AE，
∴△AHE是等腰直角三角形，
∵D是AC的中點(diǎn)，AC=AB=6，
∴AD=3，
∴BD=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$BD•AF，
6×3=3$\sqrt{5}$AF，
∴AF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴FH=EF=AF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
AH=$\sqrt{2}$FH=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{6}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∴BP=BF+EF+EP=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$+$\frac{6\sqrt{5}}{5}$+$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}+6\sqrt{10}}{5}$，
②當(dāng)AE=EP時(shí)，如圖4，
同理得：BP=BF+EF-EP=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$-$\frac{6\sqrt{10}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}-6\sqrt{10}}{5}$，
③當(dāng)AE=AP時(shí)，如圖5，
同理得：BP=BF-FH=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$-$\frac{6\sqrt{5}}{5}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，三角形AEP為等腰三角形，BP的長(zhǎng)為$\frac{18\sqrt{5}+6\sqrt{10}}{5}$或$\frac{18\sqrt{5}-6\sqrt{10}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定，本題恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建輔助線是關(guān)鍵，此題是（1）（2）作鋪墊，才能很容易求出第三問(wèn)的結(jié)論，在幾何中證明幾條線段數(shù)量關(guān)系時(shí)，利用三角形全等將這此線段放在同一條直線上，才能相應(yīng)得出結(jié)論．