Question

16．已知四邊形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角頂點(diǎn)E在直線BC上（不與點(diǎn)B、C重合），F(xiàn)M⊥AD，交射線AD于點(diǎn)M．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)M在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)MF，交邊BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，如圖①，求證：AB+BE=AM；
（2）如圖②當(dāng)點(diǎn)E在邊CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AB，BE，AM之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；
（3）如圖③當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)M在邊AD上時(shí)，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)為4，AM=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長(zhǎng)；
（4）若BE=3，∠AFM=15°，直接寫出AM的值．

Answer 1

分析 （1）可證明△ABE≌△CHF，則有AB=HE，且AM=HE，可證得結(jié)論；
（2）可證明△ABE≌△EHF，可得到AB=EH，可得到AM+BE=AB；
（3）可證明△ABE≌△EHF，可得到AB=HE，則可得AM+AB=BE，可求得BE的長(zhǎng)；
（4）可分析知當(dāng)∠AFM=15°時(shí)，只能是圖2和圖3，在圖2中，可求得∠BAE=30°，在圖3中可求得∠AEB=30°，可求得AB的長(zhǎng)，再利用相應(yīng)的關(guān)系式可求得AM的值．

解答 （1）證明：
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠ECD=90°，
∴∠AEB+∠EAB=∠AEB+∠FEH=90°，
∴∠EAB=∠FEH，
∵M(jìn)H⊥CD，
∴∠FHE=∠B=90°，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠EHF}\\{∠EAB=∠FEH}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB+BE=BE+HE=BH=AM；
（2）解：同（1）可知AE=EF，∠FHE=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{∠ABE=∠FHE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB-BE=HE-BE=HB=AM；
（3）解：同（1）可知AE=EF，∠FHE=∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠HEF=90°，
∴∠BAE=∠HEF，
在△ABE和△CHF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠HEF}\\{∠ABE=∠FHE}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CHF（AAS），
∴AB=HE，
∵AM=BH，
∴AB+AM=HE+BH=BE，
又AB=4，AM=3，
∴BE=AB+AM=7；
（4）解：
當(dāng)E點(diǎn)在線段BC上時(shí)，
∵M(jìn)H∥AB，
∴∠FAB=∠AFM=45°+∠EAB≠15°，故E點(diǎn)不能在線段BC上，
①當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有∠AFM=∠FAB=15°，
∵∠FAE=45°，
∴∠BAE=30°，則∠AEB=60°，
∴AB=BE•tan60°=3$\sqrt{3}$，
∴AM=AB-BE=3$\sqrt{3}$-3；
②當(dāng)點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可求得∠AEB=30°，
此時(shí)有AB=BE•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴AM=BE-AB=3-$\sqrt{3}$，
綜上可知當(dāng)BE=3，∠AFM=15°時(shí)，AM的值為3$\sqrt{3}$-3或3-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義及分類討論思想等．在解決每一問時(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．